4590. В прямоугольном треугольнике известны отрезки a
и b
, на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ. ab
.
Указание. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть S
— площадь прямоугольного треугольника с катетами x
и y
, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр. Тогда p=a+b+r
. Поэтому
2S=xy=(a+r)(b+r)=ab+(a+b+r)r=ab+pr=ab+S.
Отсюда находим, что S=ab
.