4600. Найдите радиус окружности, касающейся двух равных окружностей радиуса R
и их общей касательной прямой. Равные окружности касаются друг друга.
Ответ. \frac{R}{4}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры равных касающихся в точке A
окружностей, O
— центр искомой окружности радиуса r
, B
и C
точки касания с данной прямой окружностей с центрами O_{1}
и O
соответственно.
Точки A
, O
и C
лежат на одной прямой, поэтому
AO=AC-OC=O_{1}B-OC=R-r.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OO_{1}=R+r
. По теореме Пифагора
OO_{1}^{2}=AO^{2}+O_{1}A^{2},~(R+r)^{2}=(R-r)^{2}+R^{2},
откуда находим, что r=\frac{R}{4}
.
