4601. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
Указание. Четырёхугольник, образованный прямыми, содержащими катеты, и радиусами, проведёнными в точки касания с катетами, — квадрат.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
, а точки касания с этими сторонами — A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно.
Поскольку треугольник прямоугольный, его гипотенуза — диаметр описанной окружности, поэтому c=2R
.
Если O
— центр вписанной окружности, то OA_{1}CB_{1}
— квадрат. Поэтому
CA_{1}=r,~BC_{1}=BA_{1}=a-r,~AC_{1}=AB_{1}=b-r,
2R=c=AB=AC_{1}+C_{1}B=a+b-2r.
Следовательно,
2R+2r=a+b,
что и требовалось доказать.