4612. Две стороны треугольника равны соответственно 6 и 8. Медианы, проведённые к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону треугольника.
Ответ. 2\sqrt{5}
.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AC=6
и BC=8
треугольника ABC
, O
— точка пересечения медиан BM
и AN
. Обозначим OM=x
, ON=y
. Тогда BO=2OM=2x
, AO=2ON=2y
.
Из прямоугольных треугольников AOM
и BON
находим, что
AM^{2}=AO^{2}+OM^{2},~BN^{2}=BO^{2}+ON^{2},
или
\syst{4y^{2}+x^{2}=9\\4x^{2}+y^{2}=16.\\}
Сложив почленно эти равенства, получим, что
5(x^{2}+y^{2})=25.
Поэтому x^{2}+y^{2}=5
.
Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}=4y^{2}+4x^{2}=4(y^{2}+x^{2})=4\cdot5.
Следовательно, AB=2\sqrt{5}
.