4619. На отрезке и двух его неравных частях длины 2a
и 2b
построены полуокружности, лежащие по одну сторону от отрезка. Найдите радиус окружности,касающейся трёх построенных полуокружностей.
Ответ. \frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}
.
Решение. Пусть AB=2a+2b
— диаметр большей полуокружности с центром O
, AC=2a
— диаметр полуокружности с центром O_{1}
, BC=2b
— диаметр полуокружности с центром O_{2}
, x
— искомый радиус окружности с центром O_{3}
, касающейся трёх данных полуокружностей.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
OO_{3}=a+b-x,~O_{1}O_{3}=a+x,~O_{2}O_{3}=b+x,
OO_{1}=OA-O_{1}A=a+b-a=b,~OO_{2}=OB-O_{2}B=a+b-b=a.
Пусть p_{1}
и p_{2}
— полупериметры треугольников OO_{1}O_{3}
и OO_{2}O_{3}
. Тогда
p_{1}=\frac{(a+x)+(a+b-x)+b}{2}=a+b,~p_{2}=\frac{(b+x)+(a+b-x)+a}{2}=a+b.
По формуле Герона
S_{\triangle OO_{1}O_{3}}=\sqrt{(a+b)(b-x)xa},~S_{\triangle OO_{2}O_{3}}=\sqrt{(a+b)(a-x)xb},
поэтому
\frac{S_{\triangle OO_{1}O_{3}}}{S_{\triangle OO_{2}O_{3}}}=\frac{\sqrt{(a+b)(b-x)xa}}{\sqrt{(a+b)(a-x)xb}}=\frac{\sqrt{(b-x)a}}{\sqrt{(a-x)b}}.
С другой стороны, у треугольников OO_{1}O_{3}
и OO_{2}O_{3}
общая высота, проведённая из вершины O_{3}
, поэтому
\frac{S_{\triangle OO_{1}O_{3}}}{S_{\triangle OO_{2}O_{3}}}=\frac{OO_{1}}{OO_{2}}=\frac{b}{a}.
Из уравнения
\frac{\sqrt{(b-x)a}}{\sqrt{(a-x)b}}=\frac{b}{a}
находим, что
x=\frac{ab^{3}-a^{3}b}{b^{3}-a^{3}}=\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}.