4625. В треугольнике ABC
известно, что AB=a
, BC=b
. Продолжение медианы BD
пересекается с описанной около ABC
окружностью в точке E
, причём \frac{BD}{DE}=\frac{m}{n}
. Найдите AC
.
Ответ. \sqrt{\frac{2n}{m+n}(a^{2}+b^{2})}
.
Решение. Положим BD=mx
, DE=nx
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
BD^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}),~4m^{2}x^{2}=2a^{2}+2b^{2}-AC^{2},
откуда AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}-4m^{2}x^{2}
.
По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BD\cdot DE=AD\cdot DC=\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC^{2},
или
mnx^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-4m^{2}x^{2}),
откуда находим, что x^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2m(m+n)}
. Следовательно,
AC=\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-4m^{2}x^{2}}=\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-4m^{2}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{2m(m+n)}}=\sqrt{\frac{2n}{m+n}(a^{2}+b^{2})}.