4657. Острый угол при основании трапеции, вписанной в окружность радиуса 13, равен 30^{\circ}
, боковая сторона равна 10. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ. 12.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.
Решение. Пусть F
— проекция вершины C
меньшего основания BC
равнобедренной трапеции ABCD
на большее основание AD
. Тогда отрезок AF
равен средней линии трапеции. В прямоугольном треугольнике CFD
угол D
равен 30^{\circ}
, поэтому
CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot10=5.
Заметим, что окружность, описанная около трапеции ABCD
, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ACD
. Если R
— радиус этой окружности, то
AC=2R\sin\angle D=26\cdot\frac{1}{2}=13.
Из прямоугольного треугольника ACF
находим, что
AF=\sqrt{AC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{169-25}=12.