4676. Окружность \omega
с центром O
вписана в угол BAC
и касается его сторон в точках B
и C
. Внутри угла BAC
выбрана точка Q
. На отрезке AQ
нашлась такая точка P
, что AQ\perp OP
. Прямая OP
пересекает окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, описанные около треугольников BPQ
и CPQ
, вторично в точках M
и N
. Докажите, что OM=ON
.
Решение. Пусть описанные окружности треугольников BPQ
и CPQ
пересекают лучи AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Из теоремы о произведении отрезков секущих (см. задачу 2636) получаем, что AB\cdot AD=AP\cdot AQ
и аналогично AC\cdot AE=AP\cdot AQ
, откуда AB\cdot AD=AC\cdot AE
. Поскольку AB=AC
(отрезки касательных к \omega
), то AD=AE
, и треугольник ADE
— равнобедренный.
Пусть K
— середина DE
. Тогда прямая AK
является медианой, высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника ADE
, в частности, AK
проходит через O
.
Поскольку
\angle ABO=\angle ACO=\angle APO=90^{\circ},
точки A
, B
, C
, P
, O
лежат на окружности с диаметром AO
. Из вписанных четырёхугольников ABPC
, BPQD
, CPQE
получаем, что
\angle PQD=180^{\circ}-\angle PBD=\angle ABP=180^{\circ}-\angle ACP=\angle PCE=180^{\circ}-\angle PQE,
поэтому точка Q
лежит на отрезке DE
. Поскольку четырёхугольник PQDM
вписанный,
\angle MDQ=\angle MPQ=90^{\circ},
отсюда MD\perp DE
. Аналогично NE\perp DE
. Таким образом, MD\parallel OK\parallel NE
и DK=KE
. Следовательно, OM=ON
(см. задачу 1939).