4681. Докажите, что если \alpha
, \beta
и \gamma
— углы остроугольного треугольника, то \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\gt2
.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
, a
, b
и c
— длины противолежащих им сторон BC
, AC
и AB
соответственно, m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— длины медиан, проведённых из вершин этих углов, R
— радиус описанной окружности треугольника.
Докажем сначала, что a+b+c\gt m_{a}+m_{b}+m_{c}
. Для этого на продолжении медианы AA_{1}=m_{a}
за точку A_{1}
отложим отрезок A_{1}D
, равный m_{a}
(рис. 1). Применяя неравенство треугольника к треугольнику ADC
, получим, что b+c\gt2m_{a}
. Аналогично, a+b\gt2m_{c}
, a+c\gt2m_{b}
. Сложив почленно эти три неравенства, получим, что 2a+2b+2c\gt2m_{a}+2m_{b}+2m_{c}
, откуда a+b+c\gt m_{a}+m_{b}+m_{c}
, что и требовалось доказать. (Отметим, что доказанное неравенство верно для любого треугольника.)
Докажем теперь, что для остроугольного треугольника верно неравенство a+b+c\gt4R
.
Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а O
— центр его описанной окружности (рис. 2). Поскольку треугольник остроугольный, точка O
лежит внутри него, значит, она принадлежит одному из трёх треугольников AMC
, BMC
или AMB
. Без ограничения общности можно считать, что это треугольник AMB
. Продолжим отрезок AO
до пересечения с MB
в точке K
. Тогда AM+MK\geqslant AO+OK
и (BM-MK)+OK\geqslant OB
. Сложив почленно эти неравенства, получим, что AM+BM\geqslant AO+OB=2R
, или \frac{2}{3}m_{a}+\frac{2}{3}m_{b}\geqslant2R
, откуда m_{a}+m_{b}\geqslant3R
.
Продолжим отрезок CO
до пересечения со стороной AB
в точке P
(рис. 3). Центр O
описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
, поэтому \angle OC_{1}P=90^{\circ}
, значит, угол C_{1}OP
— острый, а угол COC_{1}
— тупой. Следовательно, m_{c}=CC_{1}\gt OC=R
. Сложив почленно неравенства m_{a}+m_{b}\geqslant3R
и m_{c}\gt R
, получим, что m_{a}+m_{b}+m_{c}\gt4R
.
Из неравенств a+b+c\gt m_{a}+m_{b}+m_{c}
и m_{a}+m_{b}+m_{c}\gt4R
следует, что a+b+c\gt4R
.
По теореме синусов a=2R\sin\alpha
, b=2R\sin\beta
, c=2R\sin\gamma
, значит,
a+b+c=2R\sin\alpha+2R\sin\beta+2R\sin\gamma=2R(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)\gt4R,
откуда \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\gt2
, что и требовалось доказать.