4691. На сторонах единичного квадрата отметили точки K
, L
, M
и N
так, что прямая KM
параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN
— двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL
отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN
?
Ответ. \frac{1}{4}
.
Решение. Пусть точки L
и N
лежат на сторонах соответственно AB
и CD
квадрата ABCD
, точки K
и M
— на сторонах соответственно AD
и BC
, а отрезки LN
и KM
пересекаются в точке O
. Обозначим AL=KO=x
, AK=LO=y
. Тогда
CN=OM=KM-KO=1-x,~CM=ON=LN-LO=1-y.
По теореме Пифагора
KL=\sqrt{AL^{2}+AK^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
а так как периметр треугольника AKL
равен 1, то
1-(x+y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Возведя обе части этого равенства в квадрат, после очевидных упрощений получим, что x+y-xy=\frac{1}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle CMN}=\frac{1}{2}CN\cdot CM=\frac{1}{2}(1-x)(1-y)=\frac{1}{2}\left(1-x-y+xy\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.