4692. Треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
, X
— произвольная точка внутри треугольника ABC
, такая, что \angle XAB=\angle XBC=\varphi
, а P
— такая точка, что PX\perp OX
, \angle XOP=\varphi
, причём углы XOP
и XAB
одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P
лежат на одной прямой.
Решение. Точка X
лежит внутри угла ABC
, поэтому
\angle ABX=\angle ABC-\angle XBC=\angle ABC-\varphi.
Тогда
\angle BXA=180^{\circ}-(\angle XAB+\angle ABX)=180^{\circ}-(\varphi+\angle ABC-\varphi)=180^{\circ}-\angle ABC,
значит, из всех таких точек X
отрезок AB
виден под одним и тем же углом, равным 180^{\circ}-\angle ABC
, а так как по условию задачи точки X
расположены по одну сторону от прямой AB
, то все точки X
лежат на фиксированной окружности \omega
, проходящей через вершины B
и C
данного треугольника ABC
.
Пусть Y
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую BP
. Из точек X
и Y
отрезок OP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OP
. Вписанные в эту окружность углы XOP
и XYP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle XYB=\angle XYP=\angle XOP=\varphi=\angle XAB.
Из точек Y
и A
, лежащих по одну сторону от прямой BX
, отрезок BX
виден под одним и тем же углом \varphi
, значит, точка Y
лежит на окружности, проходящей через точки A
, B
и X
, т. е. на окружности \omega
. Таким образом, Y
— точка пересечения окружности \omega
и окружности с диаметром OP
. Кроме того, \angle OYB=90^{\circ}
, поэтому точка Y
лежит на окружности с диаметром OB
. Следовательно, точка P
лежит на прямой, проходящей через фиксированные точки B
и Y
. Что и требовалось доказать.