4701. Точка O
, лежащая внутри треугольника ABC
, обладает тем свойством, что прямые AO
, BO
и CO
проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO
, ACO
и ABO
. Докажите, что O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что AO
, BO
и CO
— биссектрисы углов треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть P
— центр описанной окружности треугольника ACO
. Тогда
\angle COP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CPO)=90^{\circ}-\angle OAC.
Поэтому \angle BOC=90^{\circ}+\angle OAC
.
Аналогично \angle BOC=90^{\circ}+\angle OAB
. Следовательно, \angle OAB=\angle OAC
.
Аналогично докажем, что точка O
лежит на биссектрисах углов B
и C
.
Второй способ. Пусть M
, N
и K
— точки пересечения прямых CO
, BO
и AO
с описанными окружностями треугольников AOB
, AOC
и BOC
соответственно. Поскольку
\angle OAM=\angle OAN=\angle OCN=\angle OCK=\angle OBK=\angle OBM=90^{\circ}
(вписанные углы опираются на диаметры), то MC
, NB
и KA
— высоты треугольника MNK
. Поэтому ABC
— ортотреугольник треугольника MNK
. Следовательно, AO
, BO
и CO
— биссектрисы углов треугольника ABC
(см. задачу 533).
Примечание. См. статью И.Ф.Шарыгина «Вокруг биссектрисы», Квант, 1983, N8, с.32-36.