4708. Касательная в точке A
к описанной окружности треугольника ABC
пересекает прямую BC
в точке E
; AD
— биссектриса треугольника ABC
. Докажите, что AE=ED
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой.
Решение. Пусть точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
. Применив теорему об угле между касательной и хордой и теорему о внешнем угле треугольника, получим, что
\angle EAD=\angle EAB+\angle BAD=\angle ACB+\angle DAC=\angle EDA.
Следовательно, треугольник ADE
— равнобедренный, и AE=ED
.
Примечание. Верно и обратное: если AE=ED
, то AD
— биссектриса треугольника ABC
(см. задачу 12503).