4710. В треугольнике ABC
углы при вершинах B
и C
равны 40^{\circ}
, BD
— биссектриса угла B
. Докажите, что BD+DA=BC
.
Указание. На продолжении биссектрисы BD
за точку D
отложите точку Q
так, чтобы \angle QCA=40^{\circ}
. Пусть прямые BA
и CQ
пересекаются в точке M
. Тогда \angle M=60^{\circ}
и AD=DQ
.
(Отложите на стороне BC
отрезок BE=BD
. Треугольник DBE
равнобедренный, а точки A
, B
, D
и E
лежат на одной окружности).
Решение. Первый способ. На продолжении биссектрисы BD
за точку D
возьмём точку Q
так, чтобы \angle QCA=40^{\circ}
(рис. 1). Пусть прямые BA
и CQ
пересекаются в точке M
. Тогда
\angle BMC=180^{\circ}-40^{\circ}-80^{\circ}=60^{\circ}.
Поскольку BQ
и CA
— биссектрисы треугольника BMC
, то \angle ADQ=120^{\circ}
(см. задачу 1101), поэтому A
, M
, Q
и D
лежат на одной окружности.
Поскольку D
— точка пересечения биссектрис треугольника BMC
, то \angle AMD=\angle QMD
. Значит,
DQ=DA~\mbox{и}~BD+DA=BD+DQ=BQ,
а так как
\angle BQC=\angle MBQ+\angle BMQ=20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ}=\angle BCQ,
то треугольник BQC
— равнобедренный. Следовательно,
BC=BQ=BD+DA.
Второй способ. Отложим на стороне BC
отрезок BE=BD
(рис. 2). Треугольник DBE
равнобедренный, значит, \angle BED=80^{\circ}
, \angle DEC=100^{\circ}
. Следовательно, треугольник CED
также равнобедренный. Сумма углов BAD
и BED
равна 180^{\circ}
, поэтому точки A
, B
, D
и E
лежат на одной окружности. Хорды AD
и DE
равны (на них опираются равные углы), следовательно,
BD+DA=BE+DE=BE+EC=BC.
Третий способ. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADB=\angle CBD+\angle BCD=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}.
Поскольку BD
— биссектриса угла ABC
, точка T
, симметричная вершине A
относительно прямой BD
, лежит на стороне BC
, причём из симметрии DT=AD
и
\angle BDT=\angle ADB=60^{\circ}.
На продолжении отрезка BD
за точку D
отложим отрезок DQ=AD=DT
. Тогда
\angle CDQ=\angle ADB=60^{\circ}=\angle CDT.
Треугольники CDQ
и CDT
равны по двум сторонам и углу между ними, значит,
\angle BCQ=2\angle BCD=80^{\circ},~\angle BQC=180^{\circ}-20^{\circ}-80^{\circ}=80^{\circ},
и треугольник CBQ
равнобедренный, BC=BQ
. Следовательно,
BD+DA=BD+DQ=BQ=BC