4719. Продолжение биссектрисы AD
остроугольного треугольника ABC
пересекает описанную окружность в точке E
. Из точки D
на стороны AB
и AC
опущены перпендикуляры DP
и DQ
. Докажите, что S_{\triangle ABC}=S_{APEQ}
.
Указание. Пусть окружность, проходящая через точки A
, B
, C
и D
, пересекает сторону BC
в точке F
, отличной от E
. Докажите, что QF\parallel CE
и PF\parallel BE
.
Решение. Точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром AD
. Пусть F
— точка пересечения этой окружности со стороной BC
(если AB\ne AC
, то F
не совпадает с D
). Тогда
\angle BCE=\angle BAE=\angle DAQ=\angle QFD=\angle QFC.
Следовательно, QF\parallel CE
. Аналогично докажем, что FP\parallel BE
.
Пусть M
и N
— точки пересечения прямых EP
и EQ
со стороной BC
. Тогда в трапеции BEFP
известно, что S_{\triangle BMP}=S_{\triangle FME}
. Аналогично S_{\triangle QNC}=S_{\triangle FNE}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{APMNQ}+S_{\triangle PBM}+S_{\triangle QNC}=
=S_{APMNQ}+S_{\triangle FME}+S_{\triangle FNE}=S{APEQ}.