4725. Четырёхугольник ABCD
обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD
и касающаяся продолжений сторон BC
и CD
. Докажите, что AB+BC=AD+DC
.
Указание. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки равны между собой.
Решение. Пусть M
и N
— точки касания данной окружности с прямыми AB
и AD
, а точки K
и L
— с прямыми CD
и BC
. Тогда
AB+BC+CL=AB+BL=AB+BM=AM,
AD+DC+CK=AD+DK=AD+DN=AN.
Поскольку AM=AN
и CL=CK
, то AB+BC=AD+DC
.