4728. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, причём AC_{1}=AB_{1}
, BA_{1}=BC_{1}
и CA_{1}=CB_{1}
. Докажите, что A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
Указание. Выразите отрезок AC_{1}
через стороны a
, b
и c
треугольника ABC
и воспользуйтесь формулой: AC_{1}=p-a
, где p
— полупериметр треугольника ABC
(см. задачу 219).
Решение. Обозначим
AC_{1}=AB_{1}=x,~BA_{1}=BC_{1}=y,~CA_{1}=CB_{1}=z,~AB=c,~AC=b,~BC=a.
Тогда
x+z=b,~x+y=c,~z+y=a.
Из полученной системы уравнений находим, что
AB_{1}=x=\frac{b+c-a}{2}=p-a,
где p
— полупериметр треугольника ABC
. Это означает, что точка B_{1}
совпадает с точкой касания вписанной окружности со стороной AC
. Аналогично для точек A_{1}
и C_{1}
.
Примечание. Аналогично доказывается соответствующее утверждение для вневписанной окружности: если на стороне BC
и на продолжениях сторон AC
и AB
треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, причём AC_{1}=AB_{1}
, BA_{1}=BC_{1}
и CA_{1}=CB_{1}
, то A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вневписанной окружности со стороной BC
и продолжениями сторон AC
и AB
(достаточно воспользоваться результатом задачи 1750).
Заметим, что это условие AC_{1}=AB_{1}
, BA_{1}=BC_{1}
и CA_{1}=CB_{1}
равносильно условию AC_{1}=AB_{1}
и CA_{1}+BC_{1}=BC
.