4747. Прямоугольный треугольник ABC
имеет периметр 54, причём катет AC
больше, чем 10. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете BC
, касается прямых AB
и AC
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{243}{2}
.
Указание. Пусть O
— центр указанной окружности. Обозначьте AC=x
и выразите через x
тангенс угла OAC
.
Решение. Пусть O
— центр указанной окружности, M
— её точка касания с прямой AB
. Обозначим AC=AM=x
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle OAC=\frac{\alpha}{2},~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OC}{AC}=\frac{6}{x},
OB=\frac{OM}{\cos\angle MOB}=\frac{OM}{\cos\alpha}=\frac{6\left(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{6(x^{2}+36)}{x^{2}-36},
BM=OM\cdot\tg\alpha=\frac{72x}{x^{2}-36}.
Поскольку периметр треугольника ABC
равен 54, то AC+AM+CO+OB+BM=54
, или
2x+6+\frac{6(x^{2}+36)}{x^{2}-36}+\frac{72x}{x^{2}-36},
или
x^{3}-21x^{2}+27\cdot36=0.
Разделим обе части этого уравнения на 27 и обозначим t=\frac{x}{3}
. Получим уравнение
t^{3}-7t^{2}+36=0.
Его корни: -2
, 6, 3. Поскольку x=3t\gt10
, то x=18
. Тогда
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~OB=\frac{15}{2},~BC=6+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot18\cdot\frac{27}{2}=\frac{243}{2}.