4767. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. На всех его сторонах как на диаметрах построены полуокружности, лежащие вне треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей.
Ответ. \frac{144}{23}
.
Указание. Пусть O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Расстояния от точки O
до середины сторон данного треугольника равны R-3
, R-4
и R-5
.
Решение. Пусть O
— центр искомой окружности, R
— её радиус, M
, N
и K
— середины сторон BC
, AC
и AB
треугольника ABC
(BC=6
, AC=8
, AB=10
).
Поскольку M
, N
, и K
— центры полуокружностей радиусов 3, 4 и 5, то
OM=R-3,~ON=R-4,~OK=R-5.
Пусть P
и Q
— проекции точки O
на MK
и NK
. Тогда
OK^{2}-KP^{2}=OM^{2}-MP^{2},~ON^{2}-NQ^{2}=OK^{2}-KQ^{2},
или
(R-5)^{2}-KP^{2}=(R-3)^{2}-(4-KP)^{2},~(R-4)^{2}-(3-KQ)^{2}=(R-5)^{2}-KQ^{2}.
Из этих уравнений находим, что KP=4-\frac{1}{2}R
и KQ=3-\frac{1}{3}R
. По теореме Пифагора из треугольника OPK
находим, что
OK^{2}=OP^{2}+PK^{2}=KQ^{2}+KP^{2},~\mbox{или}~(R-5)^{2}=\left(3-\frac{1}{3}R\right)^{2}+\left(4-\frac{1}{2}R\right)^{2}.
Упростив, получим уравнение
\frac{23}{36}R^{2}-4R=0.
Отсюда находим, что R=\frac{144}{23}
.