4779. С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.
Указание. К большей из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через данную внутри угла точку M
, проведите касательную в точке M
.
Решение. Если данная точка M
расположена вне данного угла KAL
, то задача не имеет решений.
Пусть точка M
расположена внутри данного угла, а S
— большая из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через точку M
. Докажем, что касательная к этой окружности, проведённая через точку M
, отсекает от данного угла нужный треугольник.
Пусть B
и C
— точки пересечения этой касательной со сторонами AK
и AL
данного угла. Тогда периметр треугольника ABC
равен 2AP
, где P
— точка касания построенной окружности со стороной AK
данного угла.
Пусть B_{1}C_{1}
— любой другой отрезок с концами на сторонах AK
и AL
данного угла, проходящий через точку M
. Рассмотрим вневписанную окружность S_{1}
треугольника AB_{1}C_{1}
, касающуюся стороны B_{1}C_{1}
в точке M_{1}
. Поскольку точка M
лежит вне этой окружности, то радиус окружности S_{1}
больше радиуса окружности S
. Поэтому AP_{1}\gt AP
, где P_{1}
— точка касания окружности S_{1}
со стороной AK
данного угла. Поскольку периметр треугольника AB_{1}C_{1}
равен 2AP_{1}
, то утверждение доказано.