4783. Докажите, что прямая, делящая пополам периметр и площадь треугольника, проходит через центр его вписанной окружности.
Указание. Докажите, что центр окружности с диаметром на данной прямой и касающейся двух сторон треугольника, совпадает с центром вписанной окружности данного треугольника.
Решение. Пусть M
и N
— такие точки на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, что прямая MN
делит площадь и периметр треугольника ABC
пополам, т. е.
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC},~AM+AN=\frac{1}{2}(AB+BC+AC).
Пусть O
и r
— центр и радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а O_{1}
и r_{1}
— центр и радиус окружности с диаметром на отрезке MN
, касающейся AB
и AC
. Тогда
S_{\triangle AMN}=S_{\triangle AMO_{1}}+S_{\triangle ANO_{1}}=
=\frac{1}{2}AM\cdot r_{1}+\frac{1}{2}AN\cdot r_{1}=\frac{1}{2}r_{1}(AM+AN).
С другой стороны,
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}(AB+BC+AC)r=
=\frac{1}{4}\cdot2(AM+AN)r=\frac{1}{2}r(AM+AN).
Поэтому r_{1}=r
и точка O_{1}
совпадает с точкой O
.
Примечание. Верно также, что прямая, делящая пополам периметр и площадь любого описанного многоугольника, проходит через центр его вписанной окружности (см. задачу 12571).