4808. Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A
и B
. Через точку B
проведена прямая, пересекающая окружности в точках C
и D
, причём CD=8
и точка B
лежит между точками C
и D
. Найдите площадь треугольника ACD
.
Ответ. \frac{384}{25}
.
Указание. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей. Докажите, что треугольник ACD
подобен треугольнику BO_{1}O_{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры меньшей и большей окружностей соответственно, а точка C
расположена на меньшей окружности. Тогда
\angle DCA=\angle BCA=\frac{1}{2}\cup AB=\angle BO_{1}O_{2}.
Аналогично \angle CDA=\angle BO_{2}O_{1}
. Следовательно, треугольник ACD
подобен треугольнику BO_{1}O_{2}
с коэффициентом \frac{CD}{O_{1}O_{2}}=\frac{8}{5}
.
Треугольник BO_{1}O_{2}
— прямоугольный, так как
O_{1}O^{2}_{2}=5^{2}=3^{2}+4^{2}=O_{1}B^{2}+O_{2}B^{2}.
Следовательно,
S_{\triangle BCD}=\frac{64}{25}S_{\triangle BO_{1}O_{2}}=\frac{384}{25}.
