4810. Около прямоугольного треугольника ABC
с катетами AC=5
и BC=12
описана окружность. Точки E
и G
— середины меньших дуг AC
и BC
этой окружности, точка F
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
. Найдите площадь четырёхугольника AEGF
.
Ответ. \frac{117}{2}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности (середина AB
). Представьте площадь четырёхугольника AEGF
в виде суммы площадей треугольников AOF
, GOE
, AOE
и GOF
.
Решение. Центр O
окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, совпадает с серединой гипотенузы AB
. Следовательно, радиус этой окружности равен половине гипотенузы, т. е. R=\frac{13}{2}
.
Серединные перпендикуляры к катетам AC
и BC
пересекают меньшие дуги AC
и BC
в их серединах E
и G
соответственно. Поэтому
\angle EOA=\angle CBA,~\angle GOE=90^{\circ}.
Серединный перпендикуляр к гипотенузе AB
пересекает дугу AB
, не содержащую точку С, также в её середине F
. Поэтому
\angle AOF=90^{\circ},~\angle GOF=180^{\circ}-\angle CBA.
Следовательно,
S_{AEGF}=S_{\triangle AOF}+S_{\triangle GOE}+S_{\triangle AOE}+S_{\triangle GOF}=
=\frac{1}{2}R^{2}+\frac{1}{2}R^{2}+\frac{1}{2}R^{2}\sin\angle B+\frac{1}{2}R^{2}\sin(180^{\circ}-\angle B)=R^{2}+\frac{5}{13}R^{2}=\frac{117}{2}.