4835. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=BC=CD
, M
— точка пересечения диагоналей, K
— точка точка пересечения биссектрис углов A
и D
. Докажите, что точки A
, M
, K
и D
лежат на одной окружности.
Указание. Докажите, что \angle AKD=\angle AMD
.
Решение. Если CD\parallel AB
, то утверждение очевидно, так как в этом случае четырёхугольник ABCD
— ромб.
Предположим, что прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
, причём точки P
и M
лежат по одну сторону от прямой AD
. Поскольку четырёхугольник ABCD
— выпуклый, то точка K
лежит в той же полуплоскости.
Обозначим
\angle APD=\alpha,~\angle BAC=\beta,~\angle CDB=\gamma.
Тогда (см. задачу 1101)
\angle AKD=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},~\angle PBC=2\beta,~\angle BCP=2\gamma,
\alpha+2\beta+2\gamma=180^{\circ},~\beta+\gamma=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
\angle AMD=\angle BAM+\angle ABM=\beta+\alpha+\gamma=
=\alpha+90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},
поэтому \angle AKD=\angle AMD
. Следовательно, точки A
, M
, K
и D
лежат на одной окружности.
Аналогично для случая, когда точки P
и M
лежат по разные стороны от прямой AD
.