4847. Опустим из любой точки P
биссектрисы угла A
треугольника ABC
перпендикуляры PA_{1}
, PB_{1}
, PC_{1}
на его стороны BC
, CA
и AB
соответственно. Пусть R
— точка пересечения прямых PA_{1}
и B_{1}C_{1}
. Докажите, что прямая AR
делит сторону BC
пополам.
Указание. Через точку R
проведите прямую, параллельную BC
.
Решение. Через точку R
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Обозначим точки её пересечения со сторонами AB
и AC
через C_{2}
и B_{2}
соответственно. Ясно, что если R
— середина отрезка C_{2}B_{2}
, то прямая AR
делит сторону BC
пополам.
Поскольку отрезок PB_{2}
виден из точек R
и B_{1}
под прямым углом, то точки P
, R
, B_{1}
и B_{2}
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle C_{2}B_{2}P=\angle RB_{2}P=\angle RB_{1}P=\angle C_{1}B_{1}P.
Аналогично \angle B_{2}C_{2}P=\angle B_{1}C_{1}P
.
Поскольку точка P
лежит на биссектрисе угла BAC
, то PB_{1}=PC_{1}
. Поэтому \angle C_{1}B_{1}P=\angle B_{1}C_{1}P
. Следовательно, \angle C_{2}B_{2}P=\angle B_{2}C_{2}P
. Тогда высота равнобедренного треугольника C_{2}B_{2}P
является его медианой, т. е. R
— середина отрезка C_{2}B_{2}
.