4849. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h
. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде. Чему равна разность длин сторон квадратов?
Ответ. \frac{8}{5}h
.
Указание. Найдите соотношения между сторонами квадратов, радиусом окружности и данной величиной h
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, PQ
— указанная хорда, H
— её середина (OH=h)
, ABCD
и KLMN
— указанные квадраты (рис. 1), E
и F
— середины отрезков MN
и BC
. Обозначим стороны этих квадратов через a
и b
соответственно, а радиус окружности — через r
.
Из прямоугольных треугольников OEN
и OFB
находим, что
b+h=HE+OH=EO=\sqrt{ON^{2}-NE^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{b^{2}}{4}},
a-h=HF-OH=FO=\sqrt{OB^{2}-FB^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{4}}.
Поэтому
(b+h)^{2}=r^{2}-\frac{b^{2}}{4},~(a-h)^{2}=r^{2}-\frac{a^{2}}{4}.
Вычитая почленно эти равенства, получим, что
(b+h)^{2}-(a-h)^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{4},~2h-(a-b)=\frac{a-b}{4}.
Отсюда находим, что a-b=\frac{8}{5}h
.