4861. Сторона квадрата ABCD
равна 1. На сторонах AB
и AD
выбраны точки P
и Q
, причём периметр треугольника APQ
равен 2. Докажите, что \angle PCQ=45^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите вневписанную окружность треугольника APQ
(или поверните треугольник CDQ
на 90^{\circ}
вокруг вершины C
).
Решение. Первый способ. Пусть вневписанная окружность треугольника APQ
касается гипотенузы PQ
в точке F
, а продолжений катетов AP
и AQ
— в точках X
и Y
соответственно (рис. 1). Тогда
AX+AY=AP+PX+AQ+QY=AP+PF+AQ+QF=
=AP+AQ+(PF+QF)=AP+AQ+PQ=2,
а так как AX=AY
, то AX=AB
и AY=AD
, т. е. точка X
совпадает с точкой B
, а точка Y
— с точкой D
. Поэтому C
— центр окружности. Следовательно,
\angle PCQ=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}
(см. задачу 4770).
Второй способ. Пусть M
— образ точки D
при повороте на 90^{\circ}
по часовой стрелке вокруг точки C
(рис. 2). Тогда точка M
лежит на прямой AB
. Поскольку
PM=PB+BM=PB+DQ=2-AP-AQ=PQ,
то треугольники CPM
и CPQ
равны по трём сторонам, а так как \angle QCM=90^{\circ}
, то \angle PCQ=\angle PCM=45^{\circ}
.