4862. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью.
Указание. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть S
— площадь прямоугольного треугольника с катетами a
и b
, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр, m
и n
— указанные в условии отрезки гипотенузы. Тогда p=m+n+r
. Поэтому
2S=ab=(m+r)(n+r)=mn+(m+n+r)r=mn+pr=mn+S.
Отсюда находим, что S=mn
.
Примечание. Верно более общее утверждение: если известен угол \alpha
треугольника и отрезки m
и n
, на которые вписанная окружность делит противоположную сторону, то S=mn\ctg\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4899).
Отсюда следует утверждение, обратное утверждению задачи: если площадь треугольника равна произведению длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью, то треугольник прямоугольный (\ctg\frac{\alpha}{2}=1
\Rightarrow
\alpha=90^{\circ}
).