4873. Докажите, что если abc=4Rrr_{1}
, где a
, b
, c
— стороны треугольника, R
, r
, r_{c}
— радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный.
Указание. Воспользуйтесь формулами: S_{\triangle}=\frac{abc}{4R}
и S_{\triangle}=pr
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр, M
— точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны CA
, O_{1}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB=c
. Тогда AM=p
(см. задачу 4805).
Из условия задачи и равенств S=\frac{abc}{4R}
и S=pr
(см. задачи 4259 и 452) получаем, что AM=p=r_{1}
. Значит, прямоугольный треугольник CNO_{1}
— равнобедренный, поэтому \angle MO_{1}C=45^{\circ}
, а так как CO_{1}
— биссектриса угла ACB
(см. задачу 1724), то \angle ACB=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.