4874. Из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC
проведена высота CD
, и в треугольники ACD
и BCD
вписаны окружности с центрами P
и Q
. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты AC
и BC
в точках M
и N
, а высоту CD
— в точке K
. Докажите, что:
а) треугольники CMN
и CBA
подобны;
б) точки C
, M
, N
, P
и Q
лежат на окружности с центром K
, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что KQ\parallel BC
и KP\parallel AC
.
Решение. Поскольку KP
и KQ
— биссектрисы смежных углов, то \angle PKQ=90^{\circ}
. Аналогично \angle PDQ=90^{\circ}
. Поэтому точки K
и D
лежат на окружности с диаметром PQ
. Следовательно,
\angle KPQ=\angle KDQ=45^{\circ}.
Поэтому PKQ
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Докажем теперь, что прямоугольный треугольник PDQ
подобен треугольнику ACB
. Действительно, треугольник ADC
подобен треугольнику CDB
по двум углам, а так как коэффициент подобия равен отношению \frac{r_{1}}{r_{2}}
радиусов вписанных окружностей этих треугольников, то
\frac{DP}{DQ}=\frac{r_{1}\sqrt{2}}{r_{2}\sqrt{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{AC}{BC}.
Следовательно, треугольники PDQ
и ACB
подобны. Тогда
\angle QKD=\angle DPQ=\angle CAD=\angle BCD,
поэтому KQ\parallel CB
. Аналогично KP\parallel CA
. Следовательно,
\angle CMN=\angle MKP=\angle DKP=\angle PQD=\angle CBA.
Значит, треугольник CMN
подобен треугольнику CBA
.
Поскольку \angle CMK=\angle ABC=\angle ACD
, то треугольник MKC
— равнобедренный, поэтому KC=KM
. Аналогично KC=KN
.
Поскольку KQ\parallel CN
, а CQ
— биссектриса угла KCN
,
\angle CQK=\angle QCN=\angle QCK.
Поэтому треугольник CKQ
— равнобедренный и KQ=KC
. Аналогично KP=KC
. Следовательно, точки C
, M
, N
, P
и Q
лежат на окружности с центром K
. Вычислим радиус этой окружности.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
r^{2}=r^{2}_{1}+r^{2}_{2},~PQ^{2}=PD^{2}+QD^{2}=2r^{2}_{1}+2r^{2}_{2}=2r^{2}.
Следовательно, KQ=\frac{PQ}{\sqrt{2}}=r
.