4875. Дана окружность радиуса R
и две точки A
и B
на ней, AB=a
. Две окружности радиусов x
и y
касаются данной в точках A
и B
. Найдите:
а) отрезок общей внешней касательной к двум последним окружностям, если обе они касаются данной одинаковым образом (внутренним или внешним);
б) отрезок общей внутренней касательной, если окружность радиуса x
касается данной внешним образом, а окружность радиуса y
касается данной внутренним образом.
Ответ. а) \frac{a}{R}\sqrt{(R\pm x)(R\pm y)}
, знаки ''+''
для внешнего касания, знаки ''-''
— для внутреннего;
б) \frac{a}{R}\sqrt{(R+x)(R-y)}
.
Решение. Пусть O
, O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов R
, x
и y
соответственно. Обозначим \angle O_{1}OO_{2}=\alpha
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{2R^{2}-a^{2}}{2R^{2}}=1-\frac{a^{2}}{2R^{2}}.
а) Пусть окружности радиусов x
и y
касаются окружности радиуса R
внешним образом в точках M
и N
соответственно. Тогда
OO_{1}=R+x,~OO_{2}=R+y.
По теореме косинусов
O_{1}O_{2}^{2}=OO_{1}^{2}+OO_{2}^{2}-2OO_{1}\cdot OO_{2}\cos\alpha=
=(R+x)^{2}+(R+y)^{2}-2(R+x)(R+y)\cdot\left(1-\frac{a^{2}}{2R^{2}}\right)=
=(R+x)^{2}+(R+y)^{2}-2(R+x)(R+y)-\frac{a^{2}}{R^{2}}\cdot(R+x)(R+y)=
=(R+x-R-y)^{2}+\frac{a^{2}}{R^{2}}(R+x)(R+y)=(x-y)^{2}+\frac{a^{2}}{R^{2}}(R+x)(R+y).
Следовательно (см. задачу 385),
MN=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-(O_{1}M-O_{2}N)^{2}}=
=\sqrt{(x-y)^{2}+\frac{a^{2}}{R^{2}}(R+x)(R+y)-(x-y)^{2}}=\frac{a}{R}\sqrt{(R+x)(R+y)}.
Если окружности радиусов x
и y
касаются окружности радиуса R
внешним образом, то аналогично получим, что
MN=\frac{a}{R}\sqrt{(R-x)(R-y)}.
б) Пусть окружность радиуса x
касается окружности радиуса R
внешним образом, окружность радиуса y
касается окружности радиуса R
внутренним образом, а общая внутренняя касательная касается окружностей радиусов x
и y
в точках K
и L
соответственно. Тогда
OO_{1}=R+x,~OO_{2}=R-y.
По теореме косинусов
O_{1}O_{2}^{2}=OO_{1}^{2}+OO_{2}^{2}-2OO_{1}\cdot OO_{2}\cos\alpha=
=(R+x)^{2}+(R-y)^{2}-2(R+x)(R-y)\cdot\left(1-\frac{a^{2}}{2R^{2}}\right)=
=(R+x)^{2}+(R-y)^{2}-2(R+x)(R-y)-\frac{a^{2}}{R^{2}}\cdot(R+x)(R-y)=
=(R+x-R+y)^{2}+\frac{a^{2}}{R^{2}}(R+x)(R-y)=(x+y)^{2}+\frac{a^{2}}{R^{2}}(R+x)(R-y).
Следовательно (см. задачу 385),
KL=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-(O_{1}K+O_{2}L)^{2}}=
=\sqrt{(x+y)^{2}+\frac{a^{2}}{R^{2}}(R+x)(R-y)-(x+y)^{2}}=\frac{a}{R}\sqrt{(R+x)(R-y)}.