4882. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Докажите, что центры окружностей девяти точек треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
лежат на одной окружности.
Указание. Центр окружности девяти точек треугольника — середина отрезка с концами в центре описанной окружности и ортоцентре треугольника (см. задачу 174).
Решение. Пусть O_{a}
, O_{b}
, O_{c}
и O_{d}
— центры окружностей девяти точек треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно, H_{a}
, H_{b}
, H_{c}
и H_{d}
— ортоцентры этих треугольников, O
— центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
, N
— середина стороны AD
, X
и Y
— середины отрезков BH_{c}
и CH_{b}
соответственно.
Известно, что центр окружности девяти точек треугольника — середина отрезка с концами в центре описанной окружности и ортоцентре треугольника (см. задачу 174). Поэтому O_{c}
и O_{b}
— середины отрезков OH_{c}
и OH_{b}
. Кроме того, расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны (см. задачу 1257), поэтому XH_{c}=ON=YH_{b}
, а так как XH_{c}\parallel YH_{b}
, то четырёхугольник XYH_{b}H_{c}
— параллелограмм. Значит, XY\parallel H_{c}H_{b}
.
Из равенства треугольников XH_{c}O_{c}
и NOO_{c}
следует, что O_{c}
— середина отрезка XN
. Аналогично O_{b}
— середина YN
, поэтому O_{c}O_{b}
— средняя линия треугольника XNY
. Значит, O_{c}O_{b}\parallel XY
.
По свойству ортоцентра треугольника \overrightarrow{OH_{b}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}
и \overrightarrow{OH_{c}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}
(см. задачу 4516), поэтому
\overrightarrow{H_{c}H_{b}}=\overrightarrow{OH_{b}}-\overrightarrow{OH_{c}}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}.
Значит, H_{c}H_{b}\parallel BC
, а так как XY\parallel H_{c}H_{b}
и O_{c}O_{b}\parallel XY
, то O_{c}O_{b}\parallel BC
. Аналогично O_{a}O_{b}\parallel BA
, O_{a}O_{d}\parallel DA
и O_{c}O_{d}\parallel DA
.
Таким образом, стороны четырёхугольника O_{a}O_{b}O_{c}O_{d}
соответственно параллельны сторонам вписанного четырёхугольника ABCD
. Сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD
равна 180^{\circ}
, поэтому сумма противоположных углов четырёхугольника O_{a}O_{b}O_{c}O_{d}
также равна 180^{\circ}
. Следовательно, точки O_{a}
, O_{b}
, O_{c}
и O_{d}
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Для любого (не обязательно вписанного) выпуклого четырёхугольника ABCD
эти окружности пересекаются в одной точке.
2. См. также статью Д.Швецова «Важная лемма», Квант, 2012, N5-6, с. 55-59.