4883. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
. Окружность радиуса p
проходит через вершину A
и касается прямой BC
в точке B
. Окружность радиуса q
проходит через вершину A
и касается прямой BC
в точке C
. Докажите, что R^{2}=pq
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. По теореме синусов
p=\frac{AB}{2\sin B},~q=\frac{AC}{2\sin C},~R=\frac{AB}{2\sin C},~R=\frac{AC}{\sin B}.
Следовательно,
pq=\frac{AB}{2\sin B}\cdot\frac{AC}{2\sin C}=\frac{AB}{2\sin C}\cdot\frac{AC}{2\sin B}=R\cdot R=R^{2}.
Что и требовалось доказать.