4890. Высоты треугольника ABC
пересекаются в точке H
.
а) Докажите, что треугольники ABC
, BHC
, AHC
и AHB
имеют общую окружность девяти точек. (Теорема Гамильтона.)
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABC
, BHC
, AHC
и AHB
пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABC
, BHC
, AHC
и AHB
являются вершинами четырёхугольника, симметричного четырёхугольнику HABC
.
Решение. а) Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Окружность девяти точек треугольника ABC
проходит через эти три точки (см. задачу 174). С другой стороны, точки B_{1}
и C_{1}
— середины отрезков AC
и AB
, соединяющих ортоцентр A
треугольника BHC
с вершинами B
и C
, а точка A_{1}
— середина стороны BC
этого треугольника. Следовательно, окружность девяти точек треугольника BHC
также проходит через точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
. Аналогично для треугольников AHC
и AHB
.
б) Пусть O
и Q
— центры описанных окружностей треугольников ABC
и HBC
. Эти окружности равны (см. задачу 5046), а отрезок BC
— их общая хорда, поэтому точки O
и Q
симметричны относительно прямой BC
.
Точка A
— ортоцентр треугольника HBC
, а Q
— центр описанной окружности этого треугольника, поэтому AQ
— прямая Эйлера треугольника HBC
(см. задачу 5044). Центр окружности девяти точек треугольника ABC
— середина отрезка OH
(см. задачу 174). Докажем, что прямая AQ
проходит через середину отрезка OH
.
Поскольку AH=2OA_{1}=OQ
(см. задачу 1257) и AH\parallel OQ
, четырёхугольник AHQO
— параллелограмм. Его диагональ AQ
проходит через середину диагонали OH
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для прямых Эйлера треугольников HAC
и HAB
. Следовательно, прямые Эйлера треугольников ABC
, BHC
, AHC
и AHB
пересекаются в одной точке — середине отрезка OH
.
в) По доказанному, вершины четырёхугольника HABC
соответственно симметричны центрам описанных окружностей треугольников ABC
, BHC
, AHC
и AHB
относительно середины отрезка OH
, следовательно, четырёхугольник HABC
симметричен четырёхугольнику с вершинами в этих центрах относительно середины OH
.