4894. Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Докажите, что прямая Эйлера треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть точка A_{1}
лежит на стороне BC
, H
— ортоцентр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
— его высоты, O
и I
— центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
.
Треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
остроугольный, так как, например,
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC\lt90^{\circ}
(см. задачу 1303), значит, его высоты являются биссектрисами углов его ортотреугольника, т. е. треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
(см. задачу 533). Следовательно, точка H
— центр вписанной окружности треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
.
Стороны треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
(см. задачу 700), поэтому треугольник ABC
переходит в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
при гомотетии с некоторым центром Q
(см. задачу 5000). При этом центр I
вписанной окружности треугольника ABC
переходит в центр H
вписанной окружности треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Следовательно, точки I
, H
и Q
лежат на одной прямой.
Окружность, описанная около треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
— это окружность девяти точек треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Её центр — середина отрезка IH
(см. задачу 174). При рассматриваемой гомотетии центр O
описанной окружности треугольника ABC
переходит в центр описанной окружности треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
, т. е. в середину отрезка OH
. Значит, точки O
, Q
и середина отрезка IH
также лежат на одной прямой. Следовательно, точки I
, H
и O
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.