4902. Окружность S
проходит через вершину C
угла, равного \arccos\frac{4}{5}
, и пересекает его стороны в точках, удалённых от вершины C
на расстояния 10 и 16. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S
.
Ответ. \frac{80}{27}
или \frac{20}{3}
.
Решение. Пусть окружность S
с центром O
и радиусом R
пересекает стороны данного угла в точках A
и B
, причём AC=16
, BC=10
, искомая окружность с центром Q
касается сторон AC
и BC
угла ACB
в точках N
и K
соответственно, а окружности S
— в точке M
. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin\alpha=\frac{3}{5},~\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=3.
По теореме косинусов
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\alpha}=\sqrt{256+100-2\cdot16\cdot10\cdot\frac{4}{5}}=10,
т. е. треугольник ABC
— равнобедренный с основанием AC=16
.
По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\alpha}=\frac{10}{2\cdot\frac{3}{5}}=\frac{25}{3}.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки O
, Q
и M
лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности S
на прямую BC
. Тогда H
— середина отрезка BC
, поэтому CH=\frac{1}{2}BC=5
. а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то \angle QCK=\frac{\alpha}{2}
, поэтому CK=QK\ctg\frac{\alpha}{2}=3r
. Из прямоугольного треугольника OBH
находим, что
OH=OB\cos\angle BOH=R\cos\alpha=\frac{25}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{20}{3}.
Опустим перпендикуляр QF
из центра искомой окружности на прямую OH
. Тогда
OF=|OH-FH|=|OH-QK|=\left|\frac{20}{3}-r\right|,~QF=KH=|CK-CH|=|3r-5|.
Предположим, что искомая окружность и окружность S
касаются внутренним образом (рис. 1). Тогда OQ=OM-QM=R-r=\frac{25}{3}-r
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ
. По теореме Пифагора OQ^{2}=OF^{2}+QF^{2}
или
\left(\frac{25}{3}-r\right)^{2}=\left(\frac{20}{3}-r\right)^{2}+(3r-5)^{2},
откуда находим, что r=\frac{80}{27}
.
Если же искомая окружность касается данной внешним образом (рис. 2), то OQ=OM+QM=R+r=\frac{25}{3}+r
. Тогда из соответствующего уравнения
\left(\frac{25}{3}+r\right)^{2}=\left(\frac{20}{3}-r\right)^{2}+(3r-5)^{2}
находим, что r=\frac{20}{3}
(в этом случае оказалось, что точка F
совпала с O
).