4905. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC=24
, равен \frac{25}{2}
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. 6
или 4
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
и проведём высоту AH
треугольника ABC
. Тогда AH
— биссектриса и медиана треугольника ABC
, \angle BAH=\frac{\alpha}{2}
. Пусть R=\frac{25}{2}
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов BC=2R\sin\alpha
, откуда \sin\alpha=\frac{BC}{2R}=\frac{24}{25}
. Тогда
\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\left(\frac{24}{25}\right)^{2}=\frac{49}{625},
значит, либо \cos\alpha=\frac{7}{25}
, либо \cos\alpha=-\frac{7}{25}
.
В первом случае
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\frac{4}{5},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{5}.
Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
AB=\frac{BH}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{12}{\frac{3}{5}}=20,~AH=AB\cos\frac{\alpha}{2}=20\cdot\frac{4}{5}=16.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, p
— полупериметр треугольника. Тогда
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{BH\cdot AH}{AB+BH}=\frac{12\cdot16}{20+12}=6.
Если же \cos\alpha=-\frac{7}{25}
, то аналогично находим, что
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}}=\frac{3}{5},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{5},
AB=\frac{BH}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{12}{\frac{4}{5}}=15,~AH=AB\cos\frac{\alpha}{2}=15\cdot\frac{3}{5}=9,
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{BH\cdot AH}{AB+BH}=\frac{12\cdot9}{15+12}=4.