4923. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 4 и 12. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 24
или 48
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=b
, BC=a
и гипотенузой AB=c
. Пусть окружность с центром O_{c}
радиуса r_{c}
касается гипотенузы в точке T
, продолжений катетов BC
и AC
— в точках M
и N
соответственно, окружность с центром O_{a}
радиуса r_{a}
касается катета BC
точке K
, продолжений гипотенузы AB
и катета AC
— в точках P
и Q
соответственно, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что CM=CB+BM=CB+BT
и CN=CA+AN=CA+AT
, поэтому
CM+CN=CB+BT+CA+AN=CB+CA+(BT+AT)=CB+CA+AB=a+b+c=2p,
а так как CM=CN
, то CM=p
. Аналогично, AQ=AP=p
. Четырёхугольники AO_{c}MC
, KO_{a}QC
— квадраты, поэтому
r_{c}=O_{c}M=CM=p,~r_{a}=CQ=AQ-AC=p-b,
значит, r_{a}\lt r_{c}
. Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника не может быть равен 4.
Таким образом, возможны только такие случаи: либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 12, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 4, либо радиусы окружностей, касающихся катетов равны 4 и 12.
Предположим, что r_{c}=12
и r_{a}=4
(рис. 1). Тогда p=r_{c}=12
и p-b=r_{a}=4
, откуда находим, что b=8
, a+c=2p-b=24-8=16
. По теореме Пифагора c^{2}-a^{2}=b^{2}
, или (c-a)(c+a)=64
, откуда c-a=\frac{64}{c+a}=\frac{64}{16}=4
. Из системы
\syst{a+c=16\\c-a=4\\}
находим, что a=6
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24.
Пусть теперь r_{b}=12
и r_{a}=4
(рис. 2). Аналогично предыдущему получаем, что
p-12=a,~p-4=b,~b-a=8,~2p-16=a+b,~a+b+c-16=a+b,~c=16,~a^{2}+b^{2}=256.
Возведём в квадрат обе части первого уравнения системы
\syst{b-a=8\\a^{2}+b^{2}=256\\}
и вычтем почленно результат из второго. Получим, что 2ab=256-64=192
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot\frac{192}{2}=48.