4925. На окружности радиуса 3 с центром в вершине равнобедренного треугольника ABC
взята точка P
. Известно, что AB=AC=5
, BC=6
, а треугольники APB
и APC
равновелики. Найдите расстояние от точки P
до прямой BC
, если известно, что оно меньше 6.
Ответ. 4
или 1
.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
, AH=\sqrt{25-9}=4
. Треугольники APB
и APC
равновелики, поэтому из высоты, опущенные на общую сторону AP
, равны. Тогда, если точки B
и C
лежат по одну сторону от прямой AP
(рис. 1), то AP\parallel BC
, значит, расстояние от точки P
до прямой BC
равно высоте AH
треугольника ABC
, опущенной на сторону BC
, т. е. 4.
Пусть теперь точки B
и C
лежат по разные стороны от прямой AP
. Тогда расстояния от точек B
и C
до прямой AP
равны, поэтому точка P
лежит на прямой AH
. Если при этом точка P
лежит на луче AH
(рис. 2), то расстояние от точки P
до прямой BC
равно AH-AP=4-3=1
. Если же точка P
лежит на продолжении медианы AH
за вершину A
(рис. 3), то расстояние от неё до прямой BC
равно AH+AP=4+3=7\gt6
, что невозможно по условию.