4935. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AB
, равной c
, на высоте CD
как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки A
и B
, касаются её в точках M
и N
и пересекаются в точке K
. Найдите MK
.
Ответ. \frac{c}{3}
.
Решение. Пусть точки M
и K
лежат на прямых AK
и BK
соответственно. Обозначим KM=KN=x
, AM=AD=y
, BN=BD=x
, \frac{1}{2}CD=r
, S_{\triangle AKB}=S
, p
— полупериметр треугольника AKB
. Тогда
r=\frac{1}{2}\sqrt{AD\cdot BD}=\frac{1}{2}\sqrt{yz},~p=x+y+z,~S=pr=(x+y+z)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{yz}.
Кроме того, по формуле Герона S=\sqrt{(x+y+z)xyz}
, значит,
(x+y+z)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{yz}=\sqrt{(x+y+z)xyz},~
(x+y+z)^{2}\cdot yz=4(x+y+z)^{2}\cdot xyz,~x+y+z=4x.
Следовательно, x=\frac{1}{3}(y+z)=\frac{c}{3}
.