4937. Четырёхугольник ABCD
, диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром O
. Докажите, что треугольники AOB
и COD
равновелики.
Указание. См. задачу 26 или 133.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle AOB=\alpha
, \angle COD=\beta
. Тогда дуга AB
, не содержащая точки C
, равна \alpha
, а дуга CD
, не содержащая точки A
, равна \beta
. Угол между диагоналями AC
и BD
равен полусумме этих дуг (см. задачу 26), поэтому \frac{\alpha+\beta}{2}=90^{\circ}
. Значит, \alpha+\beta=180^{\circ}
. Следовательно,
S_{\triangle COD}=\frac{1}{2}OC\cdot OD\sin\beta=
=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\alpha=S_{\triangle AOB}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Из задачи 133 следует, что высота OX
треугольника AOB
вдвое меньше стороны CD
, а высота OY
треугольника COD
вдвое меньше стороны AB
. Значит,
S_{\triangle COD}=\frac{1}{2}CD\cdot OY=\frac{1}{2}\cdot2OX\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}OX\cdot AB=S_{\triangle AOB}.