4939. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, R
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности, r_{a}
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a
, противолежащей углу \alpha
, p
— полупериметр треугольника.
Докажите, что:
\mbox{а)}~\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{p-a}{4R};~\mbox{б)}~\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{r_{a}}{4R}.
Решение. а) Пусть b
и c
— стороны треугольника, противолежащие углам \beta
и \gamma
соответственно. По теореме синусов
a=2R\sin\alpha,~b=2R\sin\beta,~c=2R\sin\gamma.
Учитывая, что \frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta+\gamma}{2}
, получим, что
\frac{p-a}{4R}=\frac{b+c-a}{8R}=\frac{2R\sin\beta+2R\sin\gamma-2R\sin\alpha}{8R}=
=\frac{1}{4}(\sin\beta+\sin\gamma-\sin\alpha)=\frac{1}{4}\left(2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)=
=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=
=\frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.
б) Учитывая, что r_{a}=p\tg\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 3241 (г)), получим, что
\frac{r_{a}}{4R}=\frac{p\tg\frac{\alpha}{2}}{4R}=\frac{(a+b+c)\tg\frac{\alpha}{2}}{8R}=
=\frac{(2R\sin\alpha+2R\sin\beta+2R\sin\gamma)\tg\frac{\alpha}{2}}{8R}=\frac{1}{4}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)=
=\frac{1}{4}\left(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\tg\frac{\alpha}{2}=
=\frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\tg\frac{\alpha}{2}=
=\frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\right)=\frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta+\gamma}{2}+\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\right)=
=\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.