4941. Пусть r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, I
— центр вписанной окружности. Докажите, что
\mbox{а)}~AI\cdot BI\cdot CI=4Rr^{2};~\mbox{б)}~6r\leqslant AI+BI+CI\leqslant4R-2r.
Решение. а) Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
. Тогда
AI=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}},~BI=\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}},~CI=\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}.
Учитывая результат задачи 3225, получим, что
AI\cdot BI\cdot CI=\frac{r^{3}}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{r^{3}}{\frac{r}{4R}}=4Rr^{2}.
Что и требовалось доказать.
б) Применив неравенство \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{1}{8}
(см. задачу 3253), получим, что
AI+BI+CI=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}+\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}=r\left(\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{\gamma}{2}}\right)\geqslant
\geqslant\frac{3r}{\sqrt[{3}]{{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}}}\geqslant\frac{3r}{\sqrt[{3}]{{\frac{1}{8}}}}=6r
С другой стороны, применив равенства \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225), \sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin^{2}\frac{\beta}{2}+\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=1-2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 4940) и неравенство xy+xz+yz\leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}
(для любых неотрицательных x
, y
, z
), получим, что
AI+BI+CI=r\left(\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{\gamma}{2}}\right)=
=\frac{r\left(\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=
=\frac{r\left(\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right)}{\frac{r}{4R}}=
=4R\left(\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right)\leqslant
\leqslant4R\left(\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin^{2}\frac{\beta}{2}+\sin^{2}\frac{\gamma}{2}\right)=
=4R\left(1-2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\right)=4R\left(1-2\cdot\frac{r}{4R}\right)=4R-2r.
Что и требовалось доказать.