4943. Диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Указание. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями AC
и BD
. Проведите диаметр DD_{1}
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
с перпендикулярными диагоналями AC
и BD
.
Проведём диаметр DD_{1}
. Тогда \angle DBD_{1}=90^{\circ}
, а так как AC\perp BD
, то BD_{1}\parallel AC
. Хорды AB
и CD
заключены между параллельными хордами BD_{1}
и AC
, значит, AB=CD_{1}
. Кроме того, \angle DCD_{1}=90^{\circ}
, так как точка C
лежит на окружности с диаметром DD_{1}
. Следовательно,
AB^{2}+CD^{2}=CD_{1}^{2}+CD^{2}=DD_{1}^{2}=4R^{2}.
Что и требовалось доказать. Аналогично AD^{2}+BC^{2}=4R^{2}
.