4946. Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, равны r
и R
соответственно. Докажите, что отношение площади этого треугольника к площади треугольника с вершинами в точках касания сторон с вписанной окружностью равно \frac{2R}{r}
.
Указание. Центр вписанной окружности данного треугольника совпадает с центром описанной окружности остроугольного треугольника, вершины которого — точки касания вписанной окружности со сторонами исходного треугольника.
Решение. Пусть окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон BC
, AC
и BC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\lt90^{\circ}
(см. задачу 1303). Аналогично \angle A_{1}B_{1}C_{1}\lt90
и \angle A_{1}C_{1}B_{1}\lt90^{\circ}
. Значит, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
остроугольный, поэтому центр I
его описанной окружности расположен внутри треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle B_{1}IC_{1}}+S_{\triangle A_{1}IC_{1}}+S_{\triangle A_{1}IB_{1}}=
=\frac{1}{2}IB_{1}\cdot IC_{1}\sin(180^{\circ}-\alpha)+\frac{1}{2}IA_{1}\cdot IC_{1}\sin(180^{\circ}-\beta)+\frac{1}{2}IA_{1}\cdot IB_{1}\sin(180^{\circ}-\gamma)=
=\frac{1}{2}r^{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}r^{2}\sin\beta+\frac{1}{2}r^{2}\sin\gamma=\frac{1}{2}r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).
С другой стороны, применив формулу S_{\triangle ABC}=pr
и теорему синусов, получим, что
S_{\triangle ABC}=pr=\frac{1}{2}(BC+AC+AB)r=
=\frac{1}{2}(2R\sin\alpha+2R\sin\beta+2R\sin\gamma)r=rR(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{rR(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}{\frac{1}{2}r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}=\frac{2R}{r}.