4948. Докажите, что если \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, то
\mbox{а)}~\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma\leqslant\frac{9}{4};~~\mbox{б)}~\cos2\alpha+\cos2\beta-\cos2\gamma\leqslant\frac{3}{2};
Решение. а) Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, R
— радиус окружности с центром O
, описанной около треугольника, M
— точка пересечения медиан.
Тогда \angle BOC=2\alpha
, либо \angle BOC=360^{\circ}-2\alpha
. В любом случае \cos\angle BOC=2\cos\alpha
. Аналогично \cos\angle AOC=2\cos\beta
и \cos\angle AOB=2\cos\gamma
.
Поскольку
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505),
\overrightarrow{OM}^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}))=
=\frac{1}{9}(R^{2}+R^{2}+R^{2}+2(R^{2}\cos2\alpha+R^{2}\cos2\beta+R^{2}\cos2\gamma))=
=\frac{1}{9}(3R^{2}+2R^{2}(\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma))=
=\frac{1}{9}R^{2}(3+2(1-2\sin^{2}\alpha+1-2\sin^{2}\beta+1-2\sin^{2}\gamma))=
=\frac{1}{9}R^{2}(3+2(3-2\sin^{2}\alpha-2\sin^{2}\beta-2\sin^{2}\gamma)),
а так как \overrightarrow{OM}^{2}=OM^{2}\geqslant0
, то
3+2(3-2\sin^{2}\alpha-2\sin^{2}\beta-2\sin^{2}\gamma)\geqslant0.
Отсюда получаем, что
\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma\leqslant\frac{9}{4}.
б) Из неравенства
(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})^{2}\geqslant0
следует, что
(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})^{2}=
=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})=
=R^{2}+R^{2}+R^{2}+2(R^{2}\cos2\gamma-R^{2}\cos2\alpha-R^{2}\cos2\beta)=
=R^{2}(3+2(\cos2\gamma-\cos2\alpha-\cos2\beta)\geqslant0.
отсюда получаем, что
\cos2\alpha+\cos2\beta-\cos2\gamma\leqslant\frac{3}{2}.