4949. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k
. Найдите угол при основании треугольника.
Ответ. \arccos\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2}
.
Указание. Выразите радиусы окружностей через основание треугольника.
Решение. Обозначим основание BC
равнобедренного треугольника ABC
через a
, радиусы вписанной и описанной окружностей — r
и R
соответственно, центр вписанной окружности — O
, середину BC
— M
, угол при основании — \varphi
. Тогда
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{a}{2\sin(180^{\circ}-2\varphi)}=\frac{a}{2\sin2\varphi},
r=OM=BM\tg\frac{1}{2}\angle B=\frac{a}{2}\tg\frac{\varphi}{2}.
Значит,
\frac{r}{R}=\tg\frac{\varphi}{2}\sin2\varphi=\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}\cdot2\sin\varphi\cos\varphi=
=\frac{2\sin^{2}\varphi\cos\varphi}{1+\cos\varphi}=\frac{2(1-\cos^{2}\varphi)\cos\varphi}{1+\cos\varphi}=2(1-\cos\varphi)\cos\varphi.
Из уравнения 2(1-\cos\varphi)\cos\varphi=k
находим, что \cos\varphi=\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2}
. Следовательно, \varphi=\arccos\frac{1\pm\sqrt{1-2k}}{2}
.
Задача имеет решения при k\leqslant\frac{1}{2}
.
Примечание. Заметим, что для любого треугольника \frac{r}{R}\leqslant\frac{1}{2}
, причём равенство достигается, если треугольник равносторонний (см. задачу 3587).