4967. Стороны AD
и BC
четырёхугольника ABCD
параллельны. Биссектрисы его углов A
и D
пересекаются в точке M
, лежащей на стороне BC
, а биссектрисы углов B
и C
— в точке N
, лежащей на стороне AD
. Найдите длины всех сторон четырёхугольника ABCD
, если AM=6
и BN=4
.
Ответ. \sqrt{13}
, 2\sqrt{13}
, \sqrt{13}
, 2\sqrt{13}
;
Решение. Пусть отрезки AM
и BN
пересекаются в точке P
. Тогда \angle APB=90^{\circ}
как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD
и BC
и секущей BN
.
Треугольник ABM
— равнобедренный, так как
\angle BAM=\angle MAD=\angle BMA.
Аналогично, треугольник BAN
— также равнобедренный, значит, BM=AB=AN
, поэтому четырёхугольник ABMN
— параллелограмм, а так как его диагонали AM
и BN
перпендикулярны, то это ромб. Следовательно, MN=AB
, AP=PM=3
, BP=PN=2
.
Из прямоугольного треугольника APB
находим, что
AB=\sqrt{AP^{2}+BP^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Тогда MN=AB=\sqrt{13}
.
Четырёхугольник CDNM
— также ромб, поэтому CM=CD=DN=\sqrt{13}
. Следовательно,
BC=BM+MC=2\sqrt{13},~AD=AN+ND=2\sqrt{13}.
(Оказалось, что четырёхугольник ABCD
— параллелограмм).