4986. Периметр треугольника PQR
равен 50, PR=13
, а высота, опущенная на QR
, равна 5. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 60
или \frac{1500}{49}
.
Решение. Обозначим AQ=x
. По теореме Пифагора
AR=\sqrt{PR^{2}-AP^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,
PQ=\sqrt{AP^{2}+AQ^{2}}=\sqrt{25+x^{2}},
Пусть основание A
высоты PA
треугольника PQR
лежит на стороне QR
(рис. 1). Поскольку периметр треугольника PQR
равен 50,
13+(12+x)+\sqrt{25+x^{2}}=50,~\sqrt{25+x^{2}}=25-x,
25+x^{2}=625-50x+x^{2},~x=12.
Следовательно,
QR=AR+AQ=12+x=24,~S_{\triangle PQR}=\frac{1}{2}QR\cdot AP=\frac{1}{2}\cdot24\cdot5=60.
Если точка A
лежит на продолжении стороны QR
за точку Q
(рис. 2), то
13+(12-x)+\sqrt{25+x^{2}}=50,~\sqrt{25+x^{2}}=25+x,
25+x^{2}=625+50x+x^{2},~x=-12,
что невозможно.
Если же точка A
лежит на продолжении стороны QR
за точку R
(рис. 3), то
13+(x-12)+\sqrt{25+x^{2}}=50,~\sqrt{25+x^{2}}=49-x,
25+x^{2}=49^{2}-98x+x^{2},~x=\frac{49^{2}-5^{2}}{98}=\frac{44\cdot54}{98}=\frac{1188}{49},
Следовательно,
QR=AR+AQ=x-12=\frac{1188}{49}-12=\frac{600}{49},~
S_{\triangle PQR}=\frac{1}{2}QR\cdot AP=\frac{1}{2}\cdot\frac{600}{49}\cdot5=\frac{1500}{49}.