5012. На окружности, описанной около треугольника ABC
, найдите точку M
такую, что расстояние между её проекциями на прямые AC
и BC
максимально.
Указание. Точка M
, её проекции на прямые AC
и BC
и вершина C
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точки M
на прямые AC
и BC
. Тогда точки M
, P
, Q
и C
лежат на окружности с диаметром MC
. Следовательно,
PQ=MC\sin\angle ACB.
Поэтому PQ
максимально, если MC
максимально, т. е. когда MC
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
.